Einleitung: State-Space-Methoden für das Controller-Design Es gibt verschiedene Möglichkeiten, ein System linearer Differentialgleichungen zu beschreiben. Die Zustandsraumdarstellung wurde im Abschnitt Einleitung: Systemmodellierung eingeführt. Für ein SISO-LTI-System ist die Zustandsraumform nachstehend angegeben: wobei x ein um 1-Vektor ist, der den Zustand repräsentiert (gemeinsame Position und Geschwindigkeitsvariable in mechanischen Systemen), ist u ein Skalar, der den Eingang darstellt (üblicherweise eine Kraft oder ein Drehmoment in Mechanische Systeme) und y ist ein Skalar, der den Ausgang darstellt. Die Matrizen A (n bis n), B (n durch 1) und C (1 bis n) bestimmen die Beziehungen zwischen dem Zustand und den Eingangs - und Ausgangsvariablen. Beachten Sie, dass es erste Differentialgleichungen erster Ordnung gibt. Die Zustandsraumdarstellung kann auch für Systeme mit mehreren Ein - und Ausgängen (MIMO) verwendet werden, aber wir verwenden in diesen Tutorials nur Single-Input-Single-Output - (SISO) - Systeme. Um die State Space Design Methode einzuführen, verwenden wir die magnetisch hängende Kugel als Beispiel. Der Strom durch die Spulen induziert eine magnetische Kraft, die die Schwerkraft ausbalancieren kann und die Kugel, die aus einem magnetischen Material besteht, in der Luft aushängen kann. Die Modellierung dieses Systems wurde in vielen Kontroll-Textbüchern (einschließlich der automatischen Steuerungssysteme von B. C. Kuo, der siebten Auflage) etabliert. Die Gleichungen für das System sind gegeben durch: wobei h die vertikale Position der Kugel ist, ich den Strom durch den Elektromagneten, V ist die angelegte Spannung, M ist die Masse der Kugel, g ist die Schwerkraft, L ist die Induktivität, R ist der Widerstand und K ist ein Koeffizient, der die auf die Kugel ausgeübte magnetische Kraft bestimmt. Zur Vereinfachung wählen wir Werte von 0,05 kg. K 0,0001 L 0,01 H R 1 Ohm. G 9,81 ms2 Das System befindet sich im Gleichgewicht (der Ball ist in der Luft unterbrochen), wenn h K i2Mg (an welchem Punkt dhdt 0). Wir linearisieren die Gleichungen um den Punkt h 0,01 m (wobei der Nennstrom etwa 7 Ampere beträgt) und die Zustandsraumgleichungen erhalten: ist die Menge der Zustandsvariablen für das System (ein 3x1 Vektor), u ist die Eingangsspannung (delta V. ) Und y (der Ausgang), ist delta h. Geben Sie die System-Matrizen in eine m-Datei ein. Eines der ersten Dinge, die wir machen wollen, ist zu analysieren, ob das Open-Loop-System (ohne Kontrolle) stabil ist. Wie im Abschnitt Einleitung: Systemanalyse diskutiert, bestimmen die Eigenwerte der Systemmatrix A (äquivalent zu den Pole der Transferfusion) die Stabilität. Die Eigenwerte der A-Matrix sind die Werte von s, wobei det (sI - A) 0 ist. Einer der Pole ist in der rechten Halbebene, dh er hat einen positiven Realteil, was bedeutet, dass das System im Open-Loop unstabil ist. Um herauszufinden, was mit diesem instabilen System passiert, wenn es einen ungleichen Anfangszustand gibt, fügen Sie folgendes hinzu Zeilen zu deinem m-file und es wieder: Es sieht aus wie die Distanz zwischen dem Ball und dem Elektromagneten wird in Unendlichkeit gehen, aber wahrscheinlich kommt der Ball auf den Tisch oder den Boden zuerst (und auch wahrscheinlich geht aus dem Bereich, wo unsere Linearisierung ist Gültig) Steuerbarkeit und Beobachtbarkeit Ein System ist steuerbar, wenn es einen Steuereingang gibt, u (t), der jeden Zustand des Systems auf null in der endlichen Zeit überträgt. Es kann gezeigt werden, dass ein LTI-System nur dann kontrollierbar ist Kontroll-Matrix, CO, hat den vollen Rang (dh wenn Rang (CO) n, wobei n die Anzahl der Zustände ist). Der Rang der Steuerbarkeitsmatrix eines LTI-Modells kann in MATLAB mit dem Befehlsrang (ctrb (A, B )) Oder Rang (ctrb (sys)) Alle Zustandsvariablen eines Systems sind möglicherweise nicht direkt messbar, zB wenn sich die Komponente an einem unzugänglichen Ort befindet. In diesen Fällen ist es notwendig, die Werte der unbekannten internen Zustandsvariablen nur mit den verfügbaren Systemausgaben abzuschätzen. Ein System ist zu beobachten, wenn aus dem Systemausgang y (t) über einen endlichen Zeitpunkt t0 lt t lt tf der Anfangszustand x (t0) ermittelt werden kann. Bei LTI-Systemen ist das System genau dann zu beobachten, wenn die Beobachtungsmatrix OB einen vollen Rang hat (d. h. wenn Rang (OB) n, wobei n die Anzahl der Zustände ist). Die Beobachtbarkeit eines LTI-Modells kann in MATLAB mit dem Befehlsrang (obsv (A, C)) oder Rang (obsv (sys)) bestimmt werden. Steuerbarkeit und Beobachtbarkeit sind doppelte Konzepte. Ein System (A, B) ist genau dann steuerbar, wenn ein System (A, C, B, D) beobachtbar ist. Diese Tatsache wird bei der Gestaltung eines Beobachters nützlich sein, wie wir unten sehen werden. Control Design mit Pole Placement Ermöglicht es, einen Controller für dieses System mit Pole Placement zu erstellen. Der Schema eines Full-State-Feedback-Systems ist nachfolgend dargestellt. Im Vollzustand heißt es, dass alle Zustandsvariablen dem Regler jederzeit bekannt sind. Zum Beispiel benötigen wir in diesem System einen Sensor, der die Kugelposition, eine andere Messgeschwindigkeit und einen dritten Messstrom im Elektromagneten misst. Zur Vereinfachung geht man davon aus, dass die Referenz Null ist, R0. Die Eingabe ist dann Die Zustandsraumgleichungen für das Rückkopplungssystem mit geschlossener Schleife sind daher die Stabilitäts - und Zeitbereichsleistung des Rückkopplungssystems mit geschlossener Schleife in erster Linie durch die Lage der Pole (Eigenwerte) der Matrix (A-BK) bestimmt ). Da die Matrizen A und BK beide 3 mal 3 Matrizen sind, gibt es 3 Pole für das System. Durch die Auswahl einer geeigneten K-Matrix können wir diese geschlossenen Schleifen überall platzieren. Wir können den MATLAB-Funktionsort verwenden, um die Kontrollmatrix K zu finden, die die gewünschten Pole gibt. Bevor wir diese Methode versuchen, müssen wir entscheiden, wo wir die geschlossenen Schleifen haben wollen. Angenommen, die Kriterien für den Regler waren die Abrechnungszeit von 0,5 Sek. Und das Überschwingen von 5, dann könnten wir versuchen, die beiden dominanten Pole auf -10 - 10i (bei zeta 0,7 oder 45 Grad mit Sigma 10 gt 4,62) zu platzieren. Der dritte Pol, den wir bei -50 anfangen könnten, und wir können ihn später ändern, je nachdem, was das Closed-Loop-Verhalten ist. Entfernen Sie den Befehl lsim aus Ihrer m-Datei und alles danach, dann fügen Sie die folgenden Zeilen zu Ihrer m-Datei hinzu. Das Überschwingen ist zu groß (es gibt auch Nullen in der Übertragungsfunktion, die das Überschwingen erhöhen können, die Sie nicht sehen, die Nullen in der Raum-Raum-Formulierung). Versuchen Sie, die Pole weiter nach links zu stellen, um zu sehen, ob die vorübergehende Antwort verbessert wird (dies sollte auch die Antwort schneller machen). Diesmal ist das Überschwingen kleiner. Informieren Sie sich in Ihrem Lehrbuch für weitere Vorschläge zur Auswahl der gewünschten Schleifen. Vergleichen Sie den Kontrollaufwand (K) in beiden Fällen. Im Allgemeinen, je weiter Sie die Pole bewegen, desto mehr Kontrolle Anstrengung dauert es. Hinweis: Wenn du zwei oder mehr Pole an der gleichen Stelle platzieren willst, wird Platz nicht funktionieren. Sie können eine Funktion namens acker verwenden, die ähnlich wie platziert ist: K acker (A, B, p1 p2 p3) Einführung der Referenzeingabe Nun nehmen wir die Steuerung wie oben definiert und wenden einen Stufeneingang an (wir wählen einen kleinen Wert Für den Schritt, so bleiben wir in der Region, wo unsere Linearisierung gültig ist). Ersetzen Sie t, u und lsim in Ihrer m-Datei mit dem folgenden: Das System verfolgt nicht den Schritt gut überhaupt nicht nur ist die Größe nicht eins, aber es ist negativ statt positiv Rückruf der Schaltplan oben, wir vergleichen nicht die Ausgabe an die Referenz stattdessen messen wir alle Zustände, multiplizieren mit dem Verstärkungsvektor K und subtrahieren dann dieses Ergebnis von der Referenz. Es gibt keinen Grund zu erwarten, dass Kx gleich der gewünschten Ausgabe sein wird. Um dieses Problem zu beseitigen, können wir den Referenzeingang skalieren, damit er gleich Kx steadystate ist. Dieser Skalenfaktor wird oft als Nbar bezeichnet, wie es im folgenden Schema dargestellt ist: Wir können Nbar von MATLAB mit der Funktion rscale (platzieren Sie die folgende Codezeile nach K.). Beachten Sie, dass diese Funktion in MATLAB nicht standardmäßig ist. Du musst es hier herunterladen, rscale. m. Und speichern Sie es auf Ihrem aktuellen Arbeitsbereich. Nun, wenn wir die Antwort des Systems unter staatlicher Rückmeldung mit dieser Einführung der Referenz finden wollen, dann merken wir einfach die Tatsache, dass die Eingabe mit diesem neuen Faktor multipliziert wird, Nbar. Und jetzt kann ein Schritt vernünftig gut verfolgt werden. Observer Design Wenn wir nicht alle Zustände x (oft den Fall in der Praxis) messen können, können wir einen Beobachter aufbauen, um sie zu schätzen, während nur die Ausgabe y C x gemessen wird. Für das Magnetball-Beispiel werden wir dem System drei neue, geschätzte Zustände hinzufügen. Das Schema ist wie folgt: Der Beobachter ist im Grunde eine Kopie der Pflanze hat es die gleiche Eingabe und fast die gleiche Differentialgleichung. Ein zusätzlicher Term vergleicht die tatsächliche gemessene Ausgabe y mit der geschätzten Ausgabe yhat dies führt dazu, dass die geschätzten Zustände Hut sich den Werten der tatsächlichen Zustände x nähern. Die Fehlerdynamik des Beobachters wird durch die Pole von (A-LC) gegeben. Zuerst müssen wir den Beobachtergewinn L wählen. Da wir die Dynamik des Beobachters viel schneller als das System selbst haben wollen, müssen wir die Pole mindestens fünfmal weiter nach links platzieren als die dominierenden Pole des Systems. Wenn wir Platz einsetzen wollen. Wir müssen die drei Beobachterpole an verschiedenen Orten setzen. Wegen der Dualität zwischen Steuerbarkeit und Beobachtbarkeit können wir dieselbe Technik verwenden, die verwendet wird, um die Kontrollmatrix zu finden, aber die Matrix B durch die Matrix C zu ersetzen und die Transponierungen jeder Matrix zu nehmen. Die Gleichungen im obigen Blockdiagramm sind für Hut angegeben. Es ist üblich, die kombinierten Gleichungen für das System plus Beobachter mit dem ursprünglichen Zustand x plus dem Fehlerzustand zu schreiben: e x - Hut. Wir verwenden als staatliche Rückmeldung u - K Hut. Nach ein bisschen von der Algebra (konsultieren Sie Ihr Lehrbuch für weitere Details), kommen wir zu den kombinierten Zustand und Fehler Gleichungen mit dem Full-State-Feedback und ein Beobachter. Um zu sehen, wie die Antwort auf eine ungleiche Anfangsbedingung ohne Referenz-Eingabe schaut, fügen Sie die folgenden Zeilen in Ihre m-Datei ein. Wir nehmen typischerweise an, dass der Beobachter mit Null-Anfangszustand beginnt, Hut 0. Dies gibt uns, dass die Anfangsbedingung für den Fehler gleich der Anfangsbedingung des Zustands ist. Reaktionen aller Staaten sind unten aufgetragen. Erinnere dich, dass lsim uns x und e gibt, um Hut zu bekommen Wir müssen x - e berechnen. Wir können sehen, dass der Beobachter die Staaten schnell schätzt und die Zustände im Steady-State gut verfolgt. Veröffentlicht mit MATLABreg 7.14State Space Repräsentationen von linearen physikalischen Systemen Einleitung Als Systeme komplexer werden, werden sie mit Differentialgleichungen oder Übertragungsfunktionen umständlich. Dies gilt umso mehr, wenn das System mehrere Ein - und Ausgänge hat. Dieses Dokument führt die Zustandsraummethode ein, die dieses Problem weitgehend lindert. Die Zustandsraumdarstellung eines Systems ersetzt eine Differentialgleichung n-ter Ordnung mit einer einzigen Matrix-Differentialgleichung erster Ordnung. Die Zustandsraumdarstellung eines Systems wird durch zwei Gleichungen gegeben: Anmerkung: Fettgedanke Zeichen bezeichnen einen Vektor oder eine Matrix. Die Variable x wird häufiger in Lehrbüchern und anderen Referenzen verwendet als die Variable q, wenn Zustandsvariablen diskutiert werden. Die Variable q wird hier verwendet, da wir oft x verwenden, um die Position zu repräsentieren. Die erste Gleichung wird die Zustandsgleichung genannt, die zweite Gleichung wird die Ausgangsgleichung genannt. Für ein System der n-ten Ordnung (dh es kann durch eine Differentialgleichung der n-ten Ordnung dargestellt werden) mit r Eingängen und m Ausgängen ist die Größe jeder der Matrizen wie folgt: q ist nx 1 (n Zeilen um 1 Spalte) q ist Genannt der Zustand Vektor, ist es eine Funktion der Zeit A ist nxn A ist die Zustandsmatrix, eine Konstante B ist nxr B ist die Eingangsmatrix, eine Konstante u ist rx 1 u ist die Eingabe, eine Funktion der Zeit C ist mxn C Ist die Ausgangsmatrix, eine Konstante D ist mxr D ist die direkte Übergangs - (oder Durchführungsmatrix), eine Konstante y ist mx 1 y ist die Ausgabe, eine Funktion der Zeit Anmerkung mehrere Merkmale: Die Zustandsgleichung hat eine einzelne Ableitung erster Ordnung Den Zustandsvektor links und den Zustandsvektor q (t) und die Eingabe u (t) rechts. Es gibt keine Ableitungen auf der rechten Seite. Die Ausgangsgleichung hat den Ausgang links und den Zustandsvektor q (t) und den Eingang u (t) rechts. Es gibt keine Ableitungen auf der rechten Seite. Bei Systemen mit einem einzigen Eingang und einem einzigen Ausgang (d. h. die meisten der Systeme, die wir betrachten werden) werden diese Variablen (mit r 1 und m 1): Vorteile dieser Darstellung sind: Die Notation ist sehr kompakt. Auch große Systeme können durch zwei einfache Gleichungen dargestellt werden. Da alle Systeme durch dieselbe Notation repräsentiert werden, ist es sehr einfach, allgemeine Techniken zu entwickeln, um diese Systeme zu lösen. Computer simulieren die Gleichungen erster Ordnung. Ein einfaches Beispiel Betrachten wir ein System der 4. Ordnung, das durch eine einzelne Gleichung der 4. Ordnung mit dem Eingang x und dem Ausgang y dargestellt wird. Wir können 4 neue Variablen, q1 bis q4 definieren. Wir können nun die Differentialgleichung 4. Ordnung als 4 Gleichungen der ersten Ordnung umschreiben. Dies ist kompakt in den Zustandsraumformat geschrieben. Für dieses Problem war eine Zustandsraumdarstellung leicht zu finden. In vielen Fällen (z. B. wenn es Ableitungen auf der rechten Seite der Differentialgleichung gibt), kann dieses Problem viel schwieriger sein Solche Fälle werden in der Diskussion von Transformationen zwischen Systemdarstellungen erläutert. Die Zustandsraumdarstellung ist nicht eindeutig Fall 1: Alternative Zustandsraumdarstellung Ein weiterer wichtiger Punkt ist, dass die Zustandsraumdarstellung nicht eindeutig ist. Als einfaches Beispiel können wir einfach die Variablen aus dem obigen Beispiel neu anordnen (die neuen Zustandsvariablen sind mit q neu bezeichnet). Dies führt zu einer neuen staatlichen Raumdarstellung. Fall 2: Alternative Zustandsraumdarstellungen Im vorigen Fall zeigt eine sorgfältige Untersuchung des ursprünglichen und modifizierten Zustandsraumsystems, dass sie das gleiche System darstellen. Allerdings können wir ganz neue Zustandsvariablen bilden, indem wir eine lineare Kombination der ursprünglichen Zustandsvariablen bilden, in denen diese Gleichheit nicht offensichtlich ist. Betrachten Sie die Zustandsvariable q neu wie folgt definiert: In diesem Fall werden die neuen Zustandsraumvariablen gegeben (die Details, wie diese Matrizen bestimmt sind, sind für diese Diskussion nicht wichtig. Sie werden hier gegeben, wenn Sie interessiert sind): Dieser neue Zustand Raumsystem ist ganz anders als das ursprüngliche, und es ist überhaupt nicht offensichtlich, dass sie das gleiche System darstellen. (Es kann gezeigt werden, dass die Systeme identisch sind, indem sie die Zustandsraumdarstellung in eine Übertragungsfunktion umwandeln. Techniken dazu werden an anderer Stelle besprochen.) Schlüsselkonzept: Definieren einer Zustandsraumdarstellung Ein lineares physikalisches System der n-ten Ordnung kann mit einem Zustandsraumansatz als eine einzige Matrix-Differentialgleichung erster Ordnung: Die erste Gleichung wird die Zustandsgleichung genannt und sie hat eine erste Ableitung der Zustandsvariablen (s) auf der linken Seite und die Zustandsvariable (n) und die Eingabe (s) , Multipliziert mit matrizen, rechts. Die zweite Gleichung heißt die Ausgangsgleichung und sie hat die Ausgabe auf der linken Seite und die Zustandsvariable (n) und die Eingabe (s), multipliziert mit Matrizen, auf der rechten Seite. In der Gleichung sind keine anderen Begriffe zulässig. In diesen Gleichungen: Für eine einzelne Eingabe, Single-Ausgabesystem (der Fall, der uns am meisten interessiert): Die Zustandsraumdarstellung ist nicht eindeutig viele (eigentlich eine unendliche Zahl) von Zustandsraumsystemen können verwendet werden, um jedes lineare physikalische System darzustellen. Entwicklung eines Zustandsraummodells aus einem Systemdiagramm (Mechanical Translating) Eine weitere, leistungsstarke Möglichkeit, ein State Space Model zu entwickeln, ist direkt aus den freien Body Diagrammen. Wenn Sie als Ihre Zustandsvariablen die Mengen bestimmen, die die Energie im System bestimmen, ist ein staatliches Raumsystem oft leicht abzuleiten. Zum Beispiel würden Sie in einem mechanischen System die Ausdehnung der Federn (potentielle Energie, frac12kxsup2) und die Geschwindigkeit der Massen (kinetische Energie, frac12mvsup2) für elektrische Systeme wählen Spannung über Kondensatoren, frac12Cesup2 (evoltage)) und Strom durch Induktivitäten (frac12Lisup2) . Dies wird am besten durch mehrere Beispiele, zwei rotierende und eine elektrische illustriert. Beispiel: Direkte Ableitung von State Space Model (Mechanical Translating) Leiten Sie ein Zustandsraummodell für das dargestellte System ab. Die Eingabe ist f a und die Ausgabe ist y. Wir können freie Körpergleichungen für das System bei x und bei y schreiben. Es gibt drei Energiespeicherelemente, also erwarten wir drei Zustandsgleichungen. Energie wird als potentielle Energie im Frühjahr gespeichert (frac12K r 952 1 sup2) und kinetische Energie in den beiden Schwungrädern (frac12J 1 945 1 sup2, frac12J 2 945 2 sup2). Unsere staatlichen Variablengleichungen werden: Jetzt wollen wir Gleichungen für ihre Derivate. Die Bewegungsgleichungen aus den freien Körperdiagrammen ergeben mit der Eingabe u 964 a. Und der Ausgang y952 1. Entwicklung des Zustandsraummodells aus dem Systemdiagramm (Elektrisch) Um ein Zustandsraumsystem für ein elektrisches System zu entwickeln, wählen sie die Spannung über Kondensatoren und Strom durch Induktoren als Zustandsvariablen. Erinnern wir uns, daß wir, wenn wir Gleichungen für die Spannung über einen Induktor schreiben können, zu einer Zustandsgleichung werden, wenn wir uns durch die Induktivität teilen (dh wenn wir eine Gleichung für e Induktor haben und durch L dividieren, wird es eine Gleichung für die Induktivität dt, die Ist eine unserer Staatsvariablen). Ebenso, wenn wir eine Gleichung für den Strom durch den Kondensator schreiben und durch die Kapazität dividieren können, wird er zu einer Zustandsgleichung für e-Kondensator. Dies wird am besten durch ein Beispiel veranschaulicht. Beispiel: Direkte Ableitung des Zustandsraummodells (Elektrisch) Leiten Sie ein Zustandsraummodell für das dargestellte System ab. Die Eingabe ist i a und der Ausgang ist e 2. Es gibt drei Energiespeicherelemente, also erwarten wir drei Zustandsgleichungen. Versuchen Sie, i 1 zu wählen. I 2 und e 1 als Zustandsvariablen. Jetzt wollen wir Gleichungen für ihre Derivate. Die Spannung über dem Induktor L 2 ist e 1 (die eine unserer Zustandsvariablen ist), also ist unsere erste Zustandsvariable Gleichung Wenn wir die Ströme in den mit n1 bezeichneten Knoten summieren, erhalten wir Diese Gleichung hat unsere Eingabe (ia) und zwei Zustandsvariablen ( IL2 und iL1) und den Strom durch den Kondensator. Darum können wir unsere zweite Zustandsgleichung erhalten Unsere dritte und endgültige Zustandsgleichung erhalten wir durch Schreiben einer Gleichung für die Spannung über L 1 (die e 2 ist) in Bezug auf unsere anderen Zustandsvariablen Wir benötigen auch eine Ausgangsgleichung: So wird unsere staatliche Raumdarstellung zu dieser Technik nicht immer leicht einen Satz von Zustandsgleichungen ergeben. In manchen Fällen ist es einfacher, ein Übertragungsfunktionsmodell zu entwickeln und dieses in ein Zustandsraummodell umzuwandeln. Übertragungsfunktionen werden an anderer Stelle besprochen. Probleme bei der Entwicklung eines Zustandsraummodells aus einem Systemdiagramm Es gibt mehrere Fälle, in denen es nicht so einfach ist, ein Zustandsraummodell aus einem Systemdiagramm zu entwickeln. Einige davon werden hier besprochen. Lösung von staatlichen Raumproblemen Die Zustandsraumdarstellung eines Systems ist eine gängige und äußerst leistungsfähige Methode, mathematisch ein System darzustellen. Diese Seite diskutiert nur, wie man die staatliche Raumdarstellung entwickelt, die Lösung von staatlichen Raumproblemen wird an anderer Stelle diskutiert. Transformationen zu anderen Formen Da der Zustandsraum den anderen Darstellungen äquivalent ist, muss es eine Möglichkeit geben, von einer Repräsentation zur anderen umzuwandeln. Diese Methoden werden hier diskutiert. Kopiere Copyright 2005 bis 2015 Erik Cheever Diese Seite kann frei für pädagogische Zwecke verwendet werden.
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